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Il problem solving applicato al cubo di Rubik.






Un po' tutti, chi più chi meno, siamo stati affascinati dal cubo di Rubik.

Appena uscito sul mercato, il gioco dava la sensazione di trovarsi di fronte a qualcosa di nuovo e di magico, che sovvertiva tutto quanto sapevamo del mondo fisico.

I piccoli cubetti ad ogni rotazione sembravano compenetrarsi uno con l'altro, sparire e ricomparire sul lato opposto, con una dinamica di disgregazione e riaggregazione, mantenendo allo stesso tempo l'oggetto complessivo assemblato, malgrado le continue rotazioni che sembravano destabilizzarlo e smontarlo ad ogni passo.

L'obiettivo era quello di riportare il cubo alla configurazione iniziale ed ordinata, con tutte le facce dello stesso colore. Dall'ordine verso il caos e poi di nuovo all'ordine, usando intelligenza e ragionamento.

La storia del cubo di Rubik è anche la storia del brevetto HU 170062 di Erno Rubik depositato in Ungheria il 30 gennaio 1975 ed ottenuto poco dopo. Il brevetto non è mai stato esteso a livello internazionale, ma in ogni caso i soli diritti di esclusiva dell'invenzione in Ungheria hanno permesso a Erno Rubik di diventare un ricco imprenditore.

Il tentativo di risolvere il cubo di Rubik sembra una sfida alla portata di chiunque, comporre una faccia ed uno strato laterale di cubetti sembra facile. Altro discorso è quello di ricostruire completamente il cubo, e non vale staccare gli adesivi colorati e riattaccarli nella loro giusta posizione, o smontare il cubo e riassemblarlo con i cubetti tutti riordinati correttamente.

Con il passare del tempo, abbiamo imparato che esistono delle sequenze di mosse chiave, che permettono di agire su alcuni cubetti laterali e lasciare tutti gli altri inalterati nello stesso posto. Oppure che permettono di ri-orientare simultaneamente tre cubetti che si trovano ai rispettivi vertici.

Il metodo più semplice è basato su sole quattro sequenze di mosse da imparare a memoria, dette S1, D1 e S2, D2 (in cui S1 è simmetrica rispetto a D1, e S2 è simmetrica rispetto a D2). La composizione di queste sequenze, da scegliere in base alle circostanze, permette di risolvere completamente il gioco. Con un buon esercizio si può arrivare a risolverlo sempre, ed impiegare meno di 30 secondi.

Bene, il gioco è fatto, abbiamo le istruzioni per risolverlo e siamo soddisfatti.

Ma a noi non basta, siamo curiosi e vogliamo saperne di più.

Intanto, molto più del cubo di Rubik, appaiono magiche queste sequenze di mosse che possono risolvere ogni cubo a partire da qualunque disposizione disordinata. Da dove vengono ? Come mai esistono ? E come hanno fatto ad inventarle e/o a scoprirle ? E come fanno, magicamente, a mettere a posto anche gli ultimi cubetti senza disordinare quelli sistemati precedentemente ?

Per rispondere a queste domande occorre approfondire molto il discorso, addentrandosi nella matematica astratta che studia le simmetrie, le permutazioni, i gruppi e le strutture algebriche.

Un interessante documento di riferimento è quello di David Joyner, Mathematics of the Rubik's cube, che con un approccio assiomatico ed esaustivo tratta il cubo di Rubik come un oggetto matematico astratto, per arrivare a definire il significato delle mosse come azioni nello spazio di tutte le possibili posizioni e orientamenti dei cubetti all'interno di un cubo.

Così vediamo in pratica cosa ci dicono i matematici.

E' facile intuire che esistono delle sequenze di mosse speciali, che spostano alcuni elementi e lasciano inalterati tutti gli altri, queste sequenze sono dette commutatori ed hanno tutte la stessa forma matematica:


Le suddette sequenze S1, D1 e S2, D2 sono esempi di commutatori.

Per individuare i commutatori che agiscono su determinati elementi se ne possono provare un certo numero, a proprio piacimento, su un cubo nelle condizioni iniziali per determinarne gli effetti, oppure si può tener conto che due sequenze di mosse cambiano soltanto gli elementi su cui agiscono entrambe le sequenze, la loro intersezione, lasciando inalterati tutti gli altri.

I commutatori si possono comporre tra loro attraverso operazioni di coniugazione. E poi... 3-cycles, gruppi simmetrici, gruppi alternanti, gruppi abeliani, gruppi di azioni, sottogruppi normali e geometria proiettiva in un turbine di digressioni e deliri matematici.

Così, in un percorso passo passo, è possibile sistemare posizione ed orientamento di alcuni cubetti alla volta, fino a raggiungere la soluzione finale ordinata e definitiva. E usare il ragionamento per riportare l'ordine dentro al caos.



(5 Marzo 2016)

 

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Il problem solving applicato al cubo di Rubik

di Angelo Zizzari



 

 
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